Цель модуля
Научиться приводить будущие деньги к сегодняшнему дню. Это единственный приём, на котором держится весь расчёт инвестпроектов: чистая приведённая стоимость, внутренняя норма доходности, дисконтированная окупаемость — всё это дисконтирование в разных обёртках.
После модуля вы должны уметь:
- объяснить, почему 100 сегодня дороже, чем 100 через год, и назвать три причины;
- посчитать дисконт-фактор для любого года и любой ставки;
- привести поток из нескольких лет к сегодняшнему дню одной таблицей;
- отличить номинальную ставку от реальной и понять, какую с каким потоком брать;
- посчитать приведённую стоимость аннуитета по формуле, а не перебором лет.
Все цифры условные. Важна механика, а не «реальная» валюта.
0. Короткий старт
Вопрос на понимание: вам предлагают 100 сегодня или 105 через год. Что взять?
Правильный ответ — «зависит». От того, что вы можете сделать со 100 сегодня. Если положить их на вклад под 10%, через год будет 110 — тогда 105 через год хуже. Если максимум, что доступно, это 3% — 105 лучше.
Деньги имеют цену времени. Эта цена и называется ставкой.
Три причины, почему будущие деньги дешевле
- Альтернатива. Деньги сегодня можно вложить и получить доход. Отказ от этого — потеря.
- Риск. Обещание заплатить через год может не исполниться. Чем выше риск, тем сильнее скидка.
- Инфляция. На ту же сумму через год купят меньше.
В инвестрасчётах все три причины сворачивают в одно число — ставку дисконтирования.
1. Наращение: из сегодня в будущее
Положили 100 под 10% годовых. Через год: 100 × 1,1 = 110. Через два: 110 × 1,1 = 121.
Будущая стоимость (обозначают FV):
FV = PV × (1 + r)^n
где PV — сумма сегодня, r — ставка за период, n — число периодов.
Буквы в формулах — международные: так их пишут в учебниках и в моделях. В русском Excel те же расчёты делают функции БС (будущая стоимость) и ПС (приведённая).
Обратите внимание: за второй год начислилось 11, а не 10 — процент пошёл и на процент. Это сложный процент, и на длинных горизонтах он решает всё.
Простой и сложный процент
- Простой: проценты считают только с первоначальной суммы. 100 под 10% три года → 130.
- Сложный: проценты считают с накопленной суммы. 100 под 10% три года → 133,1.
В инвестрасчётах всегда сложный.
2. Дисконтирование: из будущего в сегодня
Разворачиваем формулу наращения.
Приведённая стоимость (обозначают PV):
PV = FV / (1 + r)^n
Пример: сколько стоят сегодня 121, которые придут через 2 года, если ставка 10%?
PV = 121 / 1,1² = 121 / 1,21 = 100
Дисконт-фактор
Чтобы не считать степень каждый раз, вводят множитель:
DF = 1 / (1 + r)^n
Тогда PV = FV × DF. Дисконт-фактор всегда меньше единицы и убывает с годами.
Таблица при ставке 10%:
| Год | Дисконт-фактор | Смысл |
|---|---|---|
| 0 | 1,000 | сегодня — не дисконтируем |
| 1 | 0,909 | рубль через год стоит 91 копейку |
| 2 | 0,826 | через два года — 83 копейки |
| 3 | 0,751 | через три — 75 копеек |
| 5 | 0,621 | через пять — 62 копейки |
| 10 | 0,386 | через десять — меньше 40 копеек |
Отсюда важное следствие: дальние годы проекта почти не влияют на решение. Если весь смысл проекта в десятом годе — это тревожный признак.
Проверь себя
- Ставка 12%. Чему равен дисконт-фактор второго года?
- Через 3 года придут 200, ставка 10%. Сколько это сегодня?
- Что произойдёт с приведённой стоимостью, если ставку поднять?
3. Приводим поток, а не одну сумму
Проект — это не одна выплата, а поток по годам. Приведённая стоимость потока — сумма приведённых стоимостей каждого года.
Год 0 не дисконтируется — это «сегодня».
Пример. Ставка 10%, поток:
| Год | Поток | Дисконт-фактор | Приведённое значение |
|---|---|---|---|
| 0 | −300 | 1,000 | −300,0 |
| 1 | +100 | 0,909 | +90,9 |
| 2 | +150 | 0,826 | +123,9 |
| 3 | +150 | 0,751 | +112,7 |
| Итого | +100 | +27,5 |
Смотрите, что произошло: недисконтированная сумма потока +100, а приведённая +27,5. Простое сложение потоков всегда завышает результат — именно поэтому «проект окупится, там же плюс сто» не аргумент.
Время «съело» 72,5
Эта таблица и есть будущий расчёт из модуля 5. Там итоговая цифра получит своё имя — чистая приведённая стоимость.
4. Аннуитет и перпетуитет
Когда платежи одинаковые, степени можно не считать по одной.
Аннуитет — равные платежи n лет
PV = C × (1 − (1 + r)^−n) / r
где C — платёж за период.
Пример: 50 в год пять лет, ставка 10%.
PV = 50 × (1 − 1,1^−5) / 0,1 = 50 × (1 − 0,6209) / 0,1 = 50 × 3,791 = 189,5
Проверка здравым смыслом: без дисконтирования было бы 250, с дисконтированием — 189,5.
Перпетуитет — платёж навсегда
PV = C / r
Пример: 20 в год бесконечно при ставке 10% стоят 20 / 0,1 = 200.
Перпетуитет с ростом
Если платёж растёт на g в год:
PV = C / (r − g)
Формула работает только при r > g. Это та самая формула, по которой в оценке считают остаточную стоимость, и место, где чаще всего рисуют красивые цифры: поставьте g близко к r — и стоимость улетает в бесконечность.
Проверь себя
- Платёж 30 в год, 4 года, ставка 12%. Приведённая стоимость?
- Перпетуитет 15 в год при ставке 12%?
- Почему в формуле роста нельзя брать g = r?
5. Номинальная ставка и реальная
Номинальная ставка — та, что вы видите в банке и в договоре: в ней уже сидит инфляция. Реальная — очищенная от инфляции, показывает прирост покупательной способности.
Точная связь (формула Фишера):
(1 + r_ном) = (1 + r_реал) × (1 + i)
где i — инфляция. Отсюда:
r_реал = (1 + r_ном) / (1 + i) − 1
Пример: ставка 15%, инфляция 8%.
Грубая прикидка «15 − 8 = 7%» — неточно. Точно: 1,15 / 1,08 − 1 = 6,5%.
Главное правило модуля
Номинальный поток дисконтируют номинальной ставкой. Реальный — реальной.
Номинальный поток — тот, где выручка и расходы растут вместе с ценами. Реальный — в сегодняшних ценах, без индексации.
Смешать базы — самая дорогая ошибка в расчёте проекта: реальный поток под номинальную ставку систематически занижает стоимость проекта, и хороший проект отклоняют. Обратная комбинация завышает и проталкивает плохой.
| Поток | Ставка | Результат |
|---|---|---|
| Номинальный (с индексацией) | Номинальная | Верно |
| Реальный (в ценах сегодня) | Реальная | Верно |
| Реальный | Номинальная | Стоимость занижена |
| Номинальный | Реальная | Стоимость завышена |
6. Период дисконтирования
Пересчёт ставки на другой период
Годовая ставка не делится на 12 — она извлекается корнем:
r_месяц = (1 + r_год)^(1/12) − 1
При 12% годовых месячная ставка не 1%, а 0,949%. Разница накапливается.
Когда приходят деньги внутри года
По умолчанию считают, что поток года приходит в конце года — так проще и консервативнее. Если выручка идёт равномерно, ближе к правде допущение середины периода: дисконтируют не на n, а на (n − 0,5).
На коротких проектах разница невелика, на длинных — заметна. Главное — выбрать одно допущение и применять его ко всем годам.
7. Типичные ошибки
- Складывать потоки разных лет напрямую, без дисконтирования.
- Дисконтировать нулевой год — «сегодня» не дисконтируют.
- Считать реальный поток под номинальную ставку и наоборот.
- Вычитать инфляцию из ставки вместо деления по формуле Фишера.
- Делить годовую ставку на 12 вместо извлечения корня.
- Брать в формуле роста g почти равным r и получать фантастическую стоимость.
- Строить проект так, что весь смысл лежит в дальних годах, которые дисконт почти обнуляет.
- Менять ставку от года к году без объяснения почему.
Матрица: что происходит со стоимостью
| Изменение | Что с приведённой стоимостью | Почему |
|---|---|---|
| Ставка выросла | Падает | Знаменатель больше |
| Горизонт длиннее | Дальние годы весят всё меньше | Дисконт-фактор убывает |
| Поток сдвинули на год позже | Падает | Ещё одно деление на (1 + r) |
| Инфляция выросла, поток не индексируют | Падает | Номинальная ставка выросла, поток нет |
| Платёж растёт на g | Растёт | Знаменатель (r − g) меньше |
Глоссарий модуля
Английские названия — для справки: они встретятся в зарубежных моделях и учебниках.
| Термин | Что это | В англоязычных учебниках |
|---|---|---|
| Приведённая стоимость | Стоимость будущих денег в сегодняшних деньгах | Present Value, PV |
| Будущая стоимость | Во что превратится сумма через n периодов | Future Value, FV |
| Ставка дисконтирования | Цена времени и риска; на неё делят будущие потоки | Discount rate |
| Дисконт-фактор | Множитель 1/(1+r)^n, приводящий год n к сегодня | Discount factor, DF |
| Сложный процент | Проценты начисляются и на накопленные проценты | Compound interest |
| Аннуитет | Ряд одинаковых платежей за фиксированное число периодов | Annuity |
| Перпетуитет | Одинаковый платёж без конца | Perpetuity |
| Номинальная ставка | Ставка с учётом инфляции | Nominal rate |
| Реальная ставка | Ставка, очищенная от инфляции | Real rate |
| Формула Фишера | Связь номинальной, реальной ставки и инфляции | Fisher equation |
| Допущение середины периода | Поток считают приходящим в середине года | Mid-year convention |
Шпаргалка формул модуля
- FV = PV × (1 + r)^n
- PV = FV / (1 + r)^n
- DF = 1 / (1 + r)^n
- PV потока = Σ (поток года t × DF года t), год 0 не дисконтируется
- PV аннуитета = C × (1 − (1 + r)^−n) / r
- PV перпетуитета = C / r
- PV перпетуитета с ростом = C / (r − g), при r > g
- r_реал = (1 + r_ном) / (1 + i) − 1
- r_период = (1 + r_год)^(1/k) − 1, где k — число периодов в году
Задание для закрепления
- Постройте таблицу дисконт-факторов на 5 лет для ставки 10% и для 20%. Сравните, насколько сильно проседает пятый год.
- Возьмите поток −500, +180, +180, +180, +180 и приведите его к сегодняшнему дню при ставке 10%. Сумма положительная?
- Найдите ставку, при которой приведённая стоимость этого потока станет нулевой (подбором, с точностью до процента). В модуле 5 выяснится, что вы только что посчитали внутреннюю норму доходности.
Следующий модуль — «Анатомия инвестпроекта»: что именно попадает в поток, а что нет.